Коли вам дана явна функція, у якій залежна змінна відособлена на одній стороні від знака рівності (наприклад, y = x -3x), то ви запросто можете продифференцировать її (тобто знайти її похідну). Але неявні функції (наприклад, x + y - 5x + 8y + 2xy = 19), в яких відокремити залежну змінну не так просто, диференціюють по іншому.
Зміст
кроки
Метод 1 з 2: Знаходження похідної простий функції
Відео: Як знаходити похідну неявної функції - bezbotvy
1
На обох сторонах функції знайдіть (стандартним способом) похідні членів, що містять незалежну змінну "х", І похідні вільних членів. На цьому етапі члени, що містять залежну змінну "у", Поки не чіпайте. Наприклад, дана функція x + y - 5x + 8y + 2xy = 19.
- У нашому прикладі x + y - 5x + 8y + 2xy = 19 є два члена зі змінною "х": X і -5x. Знайдіть їх похідні:
- x + y - 5x + 8y + 2xy = 19
- (Показник ступеня 2 в x зробіть множником, в -5x позбудьтеся від "х", А похідна 19 дорівнює 0)
- 2x + y - 5 + 8y + 2xy = 0
Відео: Похідна неявної функції. Тема
2
Тепер візьміть похідні від членів зі змінною "у" і припишіть до них (dy / dx). Наприклад, при знаходженні похідної члена y запишіть її так: 2y (dy / dx). На цьому етапі члени, що містять обидві змінні ("х" і "у"), Поки не чіпайте.
- 2x + y - 5 + 8y + 2xy = 0
- (Показник ступеня 2 в у зробіть множником, а в 8У позбудьтеся від "у"- потім припишіть до отриманих похідним dx / dy)
- 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy = 0
3
Для знаходження похідної члена, що містить твір двох змінних ("х" і "у"), Скористайтеся правилом диференціювання добутку функцій: (F g) `= f` g + g f`, де замість f підставте "х", А замість g - "у". З іншого боку, для знаходження похідної члена, що містить частка двох змінних ("х" і "у"), Скористайтеся правилом диференціювання частки функцій: (F / g) `= (g f` - g` f) / g, де замість f підставте "х", А замість g - "у" (Або навпаки в залежності від даної вам функції).
- 2xy = (2x) (y) - нехай 2x = f і y = g в (f g) `= f` g + g f`
- (F g) `= (2x)` (y) + (2x) (y) `
- (F g) `= (2) (y) + (2x) (2y (dy / dx))
- (F g) `= 2y + 4xy (dy / dx)
4
Обособьте (dy / dx). Майте на увазі, що будь-які два члена "а" і "b", Які множаться на (dy / dx), можна записати у вигляді (a + b) (dy / dx). Для відокремлення (dy / dx) перенесіть всі члени без (dy / dx) на одну сторону від знака рівності, а потім розділіть їх на члени, які стоять в дужках у (dy / dx).
- 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y + 4xy (dy / dx) = 0
- (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) + 2x - 5 + 2y = 0
- (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) = -2y - 2x + 5
- (Dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2y + 8 + 4xy)
- (Dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)
1
Підставте значення (x, y), щоб знайти (dy / dx) для будь-якої точки. Відокремити (dy / dx), ви знайшли похідну неявної функції. Використовуючи цю похідну, ви можете знайти кутовий коефіцієнт дотичної в будь-якій точці (х, у), просто підставивши в знайдену похідну координати "х" і "у".
- Наприклад, необхідно знайти кутовий коефіцієнт дотичної в точці А (3, -4). Для цього в похідну замість "х" підставте 3, а замість "у" підставте -4:
- (Dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)
- (Dy / dx) = (-2 (-4) - 2 (3) + 5) / (2 (2 (3) (- 4) + (-4) + 4)
- (Dy / dx) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (2 (3) (- 4))
- (Dy / dx) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (-12))
- (Dy / dx) = (-33) / (2 (2 (-12))
- (Dy / dx) = (-33) / (- 48) = 3/48 = 0,6875.
Відео: 18+ Математика без Ху%! Ні. Похідна неявної функції.
2
Скористайтеся ланцюговим правилом диференціювання складних функцій: якщо функцію F (x) можна записати у вигляді (f o g) (x), похідна F (x) дорівнює f` (g (x)) g` (x). Це означає, що похідну композиції двох і більше функцій можна обчислити на основі індивідуальних похідних.
Відео: Знаходження приватних похідних (bezbotvy)
- f` (g (x)) g` (x)
- (Sin (3x + x)) `(3x + x)`
- cos (3x + x) (6x + 1)
- (6x + 1) cos (3x + x)
3
Якщо функція містить змінні "х", "у", "z", Знайдіть (dz / dx) і (Dz / dy). Тобто якщо функція містить більше двох змінних, для кожної додаткової змінної необхідно знайти додаткову похідну по "х". Наприклад, якщо функція містить змінні "х", "у", "z", Потрібно знайти (dz / dx) і (dz / dy). Ви можете зробити це, продифференцировав функцію по "х" двічі - в перший раз допишіть (dz / dx) у кожного Продиференціювали члена з "z", А вдруге допишіть (dz / dy) при диференціюванні "z". Після цього просто обособьте (dz / dx) і (dz / dy).
- xz - 5xyz = x + y
- 3xz + 2xz (dz / dx) - 5yz - 5xy (dz / dx) = 2x
- 3xz + (2xz - 5xy) (dz / dx) - 5yz = 2x
- (2xz - 5xy) (dz / dx) = 2x - 3xz + 5yz
- (Dz / dx) = (2x - 3xz + 5yz) / (2xz - 5xy)
- xz - 5xyz = x + y
- 2xz (dz / dy) - 25xyz - 5xy (dz / dy) = 3y
- (2xz - 5xy) (dz / dy) = 3y + 25xyz
- (Dz / dy) = (3y + 25xyz) / (2xz - 5xy)
попередження
- Звертайте увагу на члени, при диференціюванні яких необхідно застосовувати правило знаходження похідної твори або частки функцій.
Як розкладати вираження на множники в початковій алгебри, використовуючи метод abc
Як розрахувати темп зростання
Як розрахувати перетворення фур`є функції
Як вирішити систему рівнянь методом складання
Як визначити межу функції
Як вирішувати систему методом крамера
Як скласти диференціальне рівняння
Як знайти невідомий катет
Як додавати і віднімати квадратний корінь