Відео: 18+ Математика без Ху%! Ні. Диференційне рівняння.
Завдання на диференціальне й інтегральне числення є важливими елементами закріплення теорії математичного аналізу, розділу вищої математики, що вивчається в вузах. диференціальне рівняння вирішується методом інтегрування.
Інструкція
1
Диференціальне числення досліджує властивості функцій. І навпаки, інтегрування функції дозволяє за даними властивостями, тобто похідним або диференціалом функції знайти її саму. В цьому і полягає рішення диференціального рівняння.
2
Будь-яке рівняння є співвідношенням між невідомою величиною і відомими даними. У разі диференціального рівняння роль невідомого грає функція, а роль відомих величин - її похідні. Крім цього, співвідношення може містити незалежну змінну: F (x, y (x), y’(X), y’’(X), ..., y ^ n (x)) = 0, де x - невідома змінна, y (x) - функція, яку потрібно визначити, порядок рівняння - це максимальний порядок похідної (n).
3
Таке рівняння називається звичайним диференціальним рівнянням. Якщо ж в співвідношенні кілька незалежних змінних і приватні похідні (диференціали) функції по цим змінним, то рівняння називається диференціальним рівнянням з приватними похідними і має вигляд: x? Z /? Y -? Z /? X = 0, де z (x, y) - шукана функція.
4
Отже, щоб навчитися вирішувати диференціальні рівняння, необхідно вміти знаходити первісні, тобто вирішувати завдання, зворотний диференціювання. Наприклад: Розв`яжіть рівняння першого порядку y’ = -y / x.
5
РешеніеЗаменіте y’ на dy / dx: dy / dx = -y / x.
6
Наведіть рівняння до виду, зручного для інтегрування. Для цього помножте обидві частини на dx і розділіть на y: dy / y = -dx / x.
7
Проінтегріруйте:&int-dy / y = - &int-dx / x + Сln | y | = - ln | x | + C.
8
Уявіть константу в вигляді натурального логарифма C = ln | C |, тоді: ln | xy | = Ln | C |, звідки xy = C.
9
Це рішення називається загальним рішенням диференціального рівняння. С - це константа, безліч значень якої визначає безліч рішень рівняння. При будь-якому конкретному значенні З рішення буде єдиним. Таке рішення є приватним рішенням диференціального рівняння.
