Перетворення Фур`є легко зрозуміти, якщо простежити за його послідовними етапами, виконаними в правильному порядку. Перетворення Фур`є лежить в основі багатьох досягнень сучасної цивілізації, в тому числі мобільного зв`язку, цифрової фотографії, лазерів і оптики. Перетворення Фур`є розвинулося далі і втілилося в таких методах і засобах, як дискретне перетворення Фур`є, вейвлет-аналізі (застосовується в широко відомих JPeg і MPeg форматах), розпізнаванні образів, фінансової математики, рентгенографії і багатьох інших.
Зміст
кроки
- Ці проміжки часу називаються періодом. У наведеному вище рівність буквою T позначений період.
# Ознайомтеся з основною ідеєю перетворення Фур`є.
-
1
- Будь-яка періодична функція може бути розкладена на складові, що представляють собою синусоїдальні функції з простими періодами.
- Кожна синусоїдальна функція буде мати частоту, рівну основній частоті, помноженої на ціле число.
Наведене вище рівність говорить про те, що будь-яка періодична функція може бути записана (або розкладена) у вигляді суми. # * Постійної величини a0, званої також нульовим значенням, і набору синусоїдальних функцій. Для певних функцій частина розкладання може дорівнювати нулю.
-
1
- 0 є основною циклічною частотою, яка легко обчислюється з основного періоду T.
- Залишається лише знайти a0 і формулу для знаходження повного набору an і повного набору bn. Це можна зробити, використавши властивість ортогональності синусоид.
-
2
Відео: Швидке перетворення Фур`є (ШПФ / FFT) в осцилографі: міф чи реальність?
Ознайомтеся з тим, що означає поняття ортогональних функцій. Ортогональні функції перпендикулярні один одному. Це означає, що якщо ви виберете будь-які дві функції, позначимо їх f ( t ) і g ( t ), з набору ортогональних функцій, то -
Відео: Розкладіть функцію в ряд Фур`є. Студент. Відео урок
- Синусоїдальні функції як раз утворюють такий набір ортогональних функцій.
- Порівняйте це з поняттям перпендикулярних векторів, скалярний твір яких дорівнює нулю. Скалярний добуток двох векторів - це сума добутків їх відповідних координат. У нашому випадку замість твори використовується інтеграл.
-
3Усвідомте різницю між вектором і вектором на комплексній площині.
- Вектор переміщує будь-яку точку вздовж прямої лінії на деяку відстань.
- Вектор на комплексній площині обертає вектор навколо його початкової точки з певною циклічною частотою. Таким чином вектор на комплексній площині - це вектор обертання.
-
4Зауважте, що при обертанні вектора з постійною довжиною навколо його початкової точки проекція цього вектора на дійсну вісь (тінь, що відкидається їм на цю вісь) спочатку зменшується від максимального значення до нуля і далі до максимальної негативної величини, а потім знову зростає до максимального позитивного значення .
Довжина проекції (або тінь) обертового вектора на уявну вісь змінюється за синусоїдальним законом. # Звідси робимо висновок, що синусоїда може бути записана у вигляді вектора на комплексній площині, що полегшує операції з рядами Фур`є. Порівняйте це з формою синусоїди. Всі труднощі з a0anbn дозволяються. Залишається лише один параметр ak, який необхідно знайти. Обчислення зводяться до знаходження простого інтеграла f ( t ), що дає значення всіх коефіцієнтів. Тобто вище згаданий шеф-кухар приготує вам будь-який торт з одного продукту.
-
1Погляньте на розкладання функції f ( t ). Що невідомо в цьому розкладанні?
- Необхідно обчислити нескінченне число коефіцієнтів ak.
- всі коефіцієнти ak легко знаходяться шляхом інтегрування функції f ( t ), і таким чином обчислюється їх повний набір.
- замість фрази повний набір використовують позначення {ak }.
- {ak } Називається спектром функції f ( t ).
- f ( t ) насправді є синтезом нескінченного числа векторів на комплексній площині, що мають різну довжину і обертаються в обох напрямках (за і проти годинникової стрілки) з частотами, які є гармоніками основної частоти 0 функції f ( t ), так як k приймає і позитивні, і негативні цілі значення.
-
2Подивіться на пару формул як на перетворення, а не на розкладання в ряд. Якщо у вас є функція f ( t ), вам відомі і значення ak. І навпаки, маючи ak, Ви можете знайти f ( t ). величини ak є перетворенням f ( t ). значення f ( t ) являє собою зворотне перетворення значень ak. Це можна уявити як:
-
3Примітка. Таким чином, існує два простору. f ( t ) являє собою простір часу, в той час як ak -- простір цілих чисел. Тобто, перетворення Фур`є переводить один простір в інше, і навпаки.
- У зв`язку з цим дане перетворення називають безперервним в часі.
- Ті, хто вивчає хвилі, використовують осцилограф для того, щоб побачити безперервну в часі хвилю, і аналізатор спектру, коли хочуть розглянути лінії, або спектр даної хвилі.
-
4Розгляньте найбільш поширені приклади. Наприклад, періодично відкривається і закривається прямокутний затвор. Або годинник, що відбивають час через рівні проміжки. Або поїзд з фіксованим розкладом.
- Перетворення Фур`є наведених вище функцій обчислюється досить легко, оскільки підінтегральна функція f ( t ) дорівнює одиниці на обмеженій ділянці, а у всіх інших точках її значення дорівнює нулю- таким чином, завдання зводиться до знаходження інтеграла від експоненційної функції, що дорівнює цій же функції незалежно від коефіцієнта. Достатньо лише знати, як перевести експоненту з комплексної ступенем в синусоїду, а також бути знайомим з функцією Sinc. Це наступна функція: Sinc ( x ) = Sin ( x ) / x. Вона нормує синусоїду на кут, що нагадує перебування процентної частки.
-
- Накресліть огибающую величин |ak |, щоб побачити максимуми, поступово затухаючі при видаленні від центральної (нульовий) точки.
- кожен пелюстка функції Sinc заповнений певною кількістю спектральних ліній.
- Зменшення тривалості кожного імпульсу поїзди призводить до того, що зростає кількість ліній в спектрі, відстань між ними зменшується, і врешті-решт функція Sinc більше скидається на безперервну, а не дискретну функцію.
-
5Тепер ви маєте перед собою графічне зображення розкладання в ряд Фур`є періодичної функції. Залишилося визначити, як буде виглядати перетворення Фур`є неперіодичної функції.
-
6Очевидно, розкладання неперіодичної функції в ряд Фур`є буде не дискретної сумою, як у випадку періодичної функції, а безперервним інтегралом.
- це інтеграл Фур`є, на відміну від ряду Фур`є.
-
7Таким чином, перетворення Фур`є функції безперервного часу" має вигляд ряду або інтеграла Фур`є.
-
8Розглянемо одиничний імпульс прямокутної форми. Такий імпульс вийде в разі, якщо заслінка відкривається і потім закривається лише один раз. Або ж кроковий двигун запускається і вимикається один раз.