Як розрахувати перетворення фур`є функції

Перетворення Фур`є легко зрозуміти, якщо простежити за його послідовними етапами, виконаними в правильному порядку. Перетворення Фур`є лежить в основі багатьох досягнень сучасної цивілізації, в тому числі мобільного зв`язку, цифрової фотографії, лазерів і оптики. Перетворення Фур`є розвинулося далі і втілилося в таких методах і засобах, як дискретне перетворення Фур`є, вейвлет-аналізі (застосовується в широко відомих JPeg і MPeg форматах), розпізнаванні образів, фінансової математики, рентгенографії і багатьох інших.

# Ознайомтеся з основною ідеєю перетворення Фур`є.

1. 1
2. Будь-яка періодична функція може бути розкладена на складові, що представляють собою синусоїдальні функції з простими періодами.
3. Кожна синусоїдальна функція буде мати частоту, рівну основній частоті, помноженої на ціле число.

Наведене вище рівність говорить про те, що будь-яка періодична функція може бути записана (або розкладена) у вигляді суми. # * Постійної величини a₀, званої також нульовим значенням, і набору синусоїдальних функцій. Для певних функцій частина розкладання може дорівнювати нулю.

1. 1
2. ₀ є основною циклічною частотою, яка легко обчислюється з основного періоду T.
3. Залишається лише знайти a₀ і формулу для знаходження повного набору a_n і повного набору b_n. Це можна зробити, використавши властивість ортогональності синусоид.
4. 2

   Відео: Швидке перетворення Фур`є (ШПФ / FFT) в осцилографі: міф чи реальність?

   Ознайомтеся з тим, що означає поняття ортогональних функцій. Ортогональні функції перпендикулярні один одному. Це означає, що якщо ви виберете будь-які дві функції, позначимо їх f ( t ) і g ( t ), з набору ортогональних функцій, то
5. Orthogonality

   Відео: Розкладіть функцію в ряд Фур`є. Студент. Відео урок

6. Синусоїдальні функції як раз утворюють такий набір ортогональних функцій.
7. Порівняйте це з поняттям перпендикулярних векторів, скалярний твір яких дорівнює нулю. Скалярний добуток двох векторів - це сума добутків їх відповідних координат. У нашому випадку замість твори використовується інтеграл.
8. 3
   Усвідомте різницю між вектором і вектором на комплексній площині.
9. Вектор переміщує будь-яку точку вздовж прямої лінії на деяку відстань.
10. Вектор на комплексній площині обертає вектор навколо його початкової точки з певною циклічною частотою. Таким чином вектор на комплексній площині - це вектор обертання.
11. 4
    Зауважте, що при обертанні вектора з постійною довжиною навколо його початкової точки проекція цього вектора на дійсну вісь (тінь, що відкидається їм на цю вісь) спочатку зменшується від максимального значення до нуля і далі до максимальної негативної величини, а потім знову зростає до максимального позитивного значення .
12. 

Довжина проекції (або тінь) обертового вектора на уявну вісь змінюється за синусоїдальним законом. # Звідси робимо висновок, що синусоїда може бути записана у вигляді вектора на комплексній площині, що полегшує операції з рядами Фур`є. Порівняйте це з формою синусоїди. Всі труднощі з a₀a_nb_n дозволяються. Залишається лише один параметр a_k, який необхідно знайти. Обчислення зводяться до знаходження простого інтеграла f ( t ), що дає значення всіх коефіцієнтів. Тобто вище згаданий шеф-кухар приготує вам будь-який торт з одного продукту.

1. 1
   Погляньте на розкладання функції f ( t ). Що невідомо в цьому розкладанні?
2. Необхідно обчислити нескінченне число коефіцієнтів a_k.
3. всі коефіцієнти a_k легко знаходяться шляхом інтегрування функції f ( t ), і таким чином обчислюється їх повний набір.
4. замість фрази повний набір використовують позначення {a_k }.
5. {a_k } Називається спектром функції f ( t ).
6. f ( t ) насправді є синтезом нескінченного числа векторів на комплексній площині, що мають різну довжину і обертаються в обох напрямках (за і проти годинникової стрілки) з частотами, які є гармоніками основної частоти ₀ функції f ( t ), так як k приймає і позитивні, і негативні цілі значення.
7. 2
   Подивіться на пару формул як на перетворення, а не на розкладання в ряд. Якщо у вас є функція f ( t ), вам відомі і значення a_k. І навпаки, маючи a_k, Ви можете знайти f ( t ). величини a_k є перетворенням f ( t ). значення f ( t ) являє собою зворотне перетворення значень a_k. Це можна уявити як:
   
8. 
   3
   Примітка. Таким чином, існує два простору. f ( t ) являє собою простір часу, в той час як a_k -- простір цілих чисел. Тобто, перетворення Фур`є переводить один простір в інше, і навпаки.
9. У зв`язку з цим дане перетворення називають безперервним в часі.
10. Ті, хто вивчає хвилі, використовують осцилограф для того, щоб побачити безперервну в часі хвилю, і аналізатор спектру, коли хочуть розглянути лінії, або спектр даної хвилі.
11. 
    4
    Розгляньте найбільш поширені приклади. Наприклад, періодично відкривається і закривається прямокутний затвор. Або годинник, що відбивають час через рівні проміжки. Або поїзд з фіксованим розкладом.
12. Перетворення Фур`є наведених вище функцій обчислюється досить легко, оскільки підінтегральна функція f ( t ) дорівнює одиниці на обмеженій ділянці, а у всіх інших точках її значення дорівнює нулю- таким чином, завдання зводиться до знаходження інтеграла від експоненційної функції, що дорівнює цій же функції незалежно від коефіцієнта. Достатньо лише знати, як перевести експоненту з комплексної ступенем в синусоїду, а також бути знайомим з функцією Sinc. Це наступна функція: Sinc ( x ) = Sin ( x ) / x. Вона нормує синусоїду на кут, що нагадує перебування процентної частки.
13. Sinc Function as the Envelope
    Накресліть лінію, що огинає значення a_k .
14. Накресліть огибающую величин |a_k |, щоб побачити максимуми, поступово затухаючі при видаленні від центральної (нульовий) точки.
15. кожен пелюстка функції Sinc заповнений певною кількістю спектральних ліній.
16. Зменшення тривалості кожного імпульсу поїзди призводить до того, що зростає кількість ліній в спектрі, відстань між ними зменшується, і врешті-решт функція Sinc більше скидається на безперервну, а не дискретну функцію.
17. 5
    Тепер ви маєте перед собою графічне зображення розкладання в ряд Фур`є періодичної функції. Залишилося визначити, як буде виглядати перетворення Фур`є неперіодичної функції.
18. 
    6
    Очевидно, розкладання неперіодичної функції в ряд Фур`є буде не дискретної сумою, як у випадку періодичної функції, а безперервним інтегралом.
19. це інтеграл Фур`є, на відміну від ряду Фур`є.
20. 7
    Таким чином, перетворення Фур`є функції безперервного часу" має вигляд ряду або інтеграла Фур`є.
21. 8
    Розглянемо одиничний імпульс прямокутної форми. Такий імпульс вийде в разі, якщо заслінка відкривається і потім закривається лише один раз. Або ж кроковий двигун запускається і вимикається один раз.