Відео: Як знайти довжину медіани в прямокутному трикутнику на ДПА ОГЕ ЄДІ з математики
Зміст
Медіана трикутника - це відрізок, проведений з будь-якої його вершини до протилежної сторони, при цьому він ділить її на частини рівної довжини. Максимальне число медіан в трикутнику - три, за кількістю вершин і сторін.
Інструкція
1
Завдання 1.
У довільному трикутнику ABD проведена медіана BE. Знайдіть її довжину, якщо відомо, що сторони, відповідно, рівні AB = 10 см, BD = 5 см і AD = 8 см.
У довільному трикутнику ABD проведена медіана BE. Знайдіть її довжину, якщо відомо, що сторони, відповідно, рівні AB = 10 см, BD = 5 см і AD = 8 см.
2
Рішення.
Застосуйте формулу медіани з виразом через усі сторони трикутника. Це просте завдання, оскільки всі довжини сторін відомі:
BE =? ((2 * AB ^ 2 + 2 * BD ^ 2 - AD ^ 2) / 4) =? ((200 + 50 - 64) / 4) =? (46,5)? 6,8 (см).
Застосуйте формулу медіани з виразом через усі сторони трикутника. Це просте завдання, оскільки всі довжини сторін відомі:
BE =? ((2 * AB ^ 2 + 2 * BD ^ 2 - AD ^ 2) / 4) =? ((200 + 50 - 64) / 4) =? (46,5)? 6,8 (см).
3
Завдання 2.
У трикутник ABD боку AD і BD рівні. Проведена медіана з вершини D на сторону BA, при цьому вона становить кут з BA, рівний 90 °. Знайдіть довжину медіани DH, якщо відомо, що BA = 10 см, а кут DBA дорівнює 60 °.
У трикутник ABD боку AD і BD рівні. Проведена медіана з вершини D на сторону BA, при цьому вона становить кут з BA, рівний 90 °. Знайдіть довжину медіани DH, якщо відомо, що BA = 10 см, а кут DBA дорівнює 60 °.
4
Рішення.
Для знаходження медіани визначте одну і рівних сторін трикутника AD або BD. Для цього розгляньте один з прямокутних трикутників, припустимо, BDH. З визначення медіани слід, що BH = BA / 2 = 10/2 = 5.
Знайдіть сторону BD по тригонометричної формулою з властивості прямокутного трикутника - BD = BH / sin (DBH) = 5 / sin60 ° = 5 / (? 3/2)? 5,8.
Для знаходження медіани визначте одну і рівних сторін трикутника AD або BD. Для цього розгляньте один з прямокутних трикутників, припустимо, BDH. З визначення медіани слід, що BH = BA / 2 = 10/2 = 5.
Знайдіть сторону BD по тригонометричної формулою з властивості прямокутного трикутника - BD = BH / sin (DBH) = 5 / sin60 ° = 5 / (? 3/2)? 5,8.
5
Тепер можливі два варіанти знаходження медіани: за формулою, використаної в першій задачі або по теоремі Піфагора для прямокутного трикутника BDH: DH ^ 2 = BD ^ 2 - BH ^ 2.
DH ^ 2 = (5,8) ^ 2 - 25? 8,6 (см).
DH ^ 2 = (5,8) ^ 2 - 25? 8,6 (см).
6
Завдання 3.
У довільному трикутнику BDA проведено три медіани. Знайдіть їх довжини, якщо відомо, що висота DK дорівнює 4 см і ділить підставу на відрізки довжиною BK = 3 і KA = 6.
У довільному трикутнику BDA проведено три медіани. Знайдіть їх довжини, якщо відомо, що висота DK дорівнює 4 см і ділить підставу на відрізки довжиною BK = 3 і KA = 6.
7
Рішення.
Для знаходження медіан необхідні довжини всіх сторін. Довжину BA можна знайти з умови: BA = BH + HA = 3 + 6 = 9.
Розгляньте прямокутний трикутник BDK. По теоремі Піфагора знайдіть довжину гіпотенузи BD:
BD ^ 2 = BK ^ 2 + DK ^ 2 BD =? (9 + 16) =? 25 = 5.
Для знаходження медіан необхідні довжини всіх сторін. Довжину BA можна знайти з умови: BA = BH + HA = 3 + 6 = 9.
Розгляньте прямокутний трикутник BDK. По теоремі Піфагора знайдіть довжину гіпотенузи BD:
BD ^ 2 = BK ^ 2 + DK ^ 2 BD =? (9 + 16) =? 25 = 5.
8
Аналогічно знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника KDA:
AD ^ 2 = DK ^ 2 + KA ^ 2 AD =? (16 + 36) =? 52? 7,2.
AD ^ 2 = DK ^ 2 + KA ^ 2 AD =? (16 + 36) =? 52? 7,2.
9
За формулою вираження через боку знайдіть медіани:
BE ^ 2 = (2 * BD ^ 2 + 2 * BA ^ 2 - AD ^ 2) / 4 = (50 + 162 - 51,8) / 4? 40, звідси BE? 6,3 (см).
DH ^ 2 = (2 * BD ^ 2 + 2 * AD ^ 2 - BA ^ 2) / 4 = (50 + 103,7 - 81) / 4? 18,2, звідси DH? 4,3 (см).
AF ^ 2 = (2 * AD ^ 2 + 2 * BA ^ 2 - BD ^ 2) / 4 = (103,7 + 162 - 25) / 4? 60, звідси AF? 7,8 (см).
BE ^ 2 = (2 * BD ^ 2 + 2 * BA ^ 2 - AD ^ 2) / 4 = (50 + 162 - 51,8) / 4? 40, звідси BE? 6,3 (см).
DH ^ 2 = (2 * BD ^ 2 + 2 * AD ^ 2 - BA ^ 2) / 4 = (50 + 103,7 - 81) / 4? 18,2, звідси DH? 4,3 (см).
AF ^ 2 = (2 * AD ^ 2 + 2 * BA ^ 2 - BD ^ 2) / 4 = (103,7 + 162 - 25) / 4? 60, звідси AF? 7,8 (см).
Рада 2: Як знайти довжину медіани
Медіана - це відрізок, що з`єднує вершину трикутника і середину протилежної сторони. Знаючи довжини всіх трьох сторін трикутника, можна знайти його медіани. В окремих випадках рівнобедреного і рівностороннього трикутника, очевидно, досить знання, відповідно, двох (не рівні один одному) і одного боку трикутника. Медіану також можна знайти і за іншими даними.
Вам знадобиться
- Довжини сторін трикутника, кути між сторонами трикутника
Інструкція
1
Розглянемо самий загальний випадок трикутника ABC з трьома нерівними одне одному сторонами. довжину медіани AE цього трикутника можна обчислити за формулою: AE = sqrt (2 * (AB ^ 2) + 2 * (AC ^ 2) - (BC ^ 2)) / 2. решта медіани знаходяться абсолютно аналогічно. Ця формула виводиться через теорему Стюарта, або через добудованих трикутника до паралелограма.
2
Якщо трикутник ABC - рівнобедрений і AB = AC, то медіана AE буде одночасно і висотою цього трикутника. Отже, трикутник BEA буде прямокутним. По теоремі Піфагора, АЕ = sqrt ((AB ^ 2) - (BC ^ 2) / 4). Із загальної формули довжини медіани трикутника, для медіан BO і СP справедливо: BO = CP = sqrt (2 * (BC ^ 2) + (AB ^ 2)) / 2.
3
Якщо трикутник ABC - рівносторонній, то, очевидно, що всі його медіани дорівнюють один одному. Так як кут при вершині рівностороннього трикутника дорівнює 60 градусам, то AE = BO = CP = a * sqrt (3) / 2, де a = AB = AC = BC - довжина сторони рівностороннього трикутника.
4
Медіану трикутника можна знайти і за іншими даними. Наприклад, якщо задані довжини двох сторін, до однієї з яких проведена медіана, наприклад, довжини сторін AB і BC, а також кут x між ними. тоді довжину медіани можна знайти через теорему косинусів: AE = sqrt ((AB ^ 2 + (BC ^ 2) / 4) -AB * BC * cos (x)).
Як знайти висоту ромба?