Як скласти диференціальне рівняння

У вихідних фізичних задачах аргументом, найчастіше, є час t. Загальний принцип складання диференціального рівняння (ДУ) полягає в тому, що на малих збільшеннях аргументу функції майже не змінюються, що дозволяє замінювати приросту функції їх диференціалами. Якщо в постановці завдання мова зайде про швидкість зміни будь-якого параметра, то відразу слід писати похідну параметра (зі знаком мінус, якщо деякий параметр зменшується).

Якщо в процесі міркувань і викладок виникли інтеграли, їх можна усунути дифференцированием. І нарешті, в фізичних формулах похідних і так більш ніж достатньо. Найголовніше - розглянути якомога більше прикладів, які в процесі рішення необхідно довести до стадії складання ДУ.

Приклад 1. Як розрахувати зміна напруги на виході заданої інтегруючого RC - ланцюга, при заданому вхідному впливі?

Рішення. Нехай вхідна напруга U (t), а шукане вихідна u (t) (див. Рис.1).
Вхідна напруга складається з суми вихідної u (t) і падіння напруги на опору R - Ur (t).
U (t) = Ur (t) + Uc (t) - згідно із законом Ома Ur (t) = i (t) R, i (t) = C (dUc / dt). З іншого боку Uc (t) = u (t), а i (t) - струм ланцюга (в тому числі і на ємності С). Значить i = C (du / dt), Ur = RC (du / dt). Тоді баланс напруг в електричному ланцюзі можна переписати у вигляді: U = RC (du / dt) + u. Вирішуючи це рівняння щодо першої похідною, маємо:
u’(T) = - (1 / RC) u (t) + (1 / RC) U (t).
Це ДУ першого порядку. Рішенням завдання буде його загальне рішення (неоднозначне). Для отримання однозначного рішення треба задавати початкові умови (крайові) у вигляді u (0) = u0.

Приклад 2. Знайти рівняння гармонічного осцилятора.

Рішення. Гармонійний осцилятор (коливальний контур) - основний елемент радіопередавальних і радіоприймальних пристроїв. Це замкнуте електричне коло, що містить паралельно з`єднані ємність С (конденсатор) і індуктивність L (котушка). Відомо, що струми і напруги на таких реактивних елементах пов`язані рівністю Iс = C (dUc / dt) = CU’c,
Ul = -L (dIl / dt) = - LI’l. Оскільки в цьому завданні всі напруги і все струми однакові, то остаточно
I’’+ (1 / LC) I = 0.
Отримано ДУ другого порядку.