Як скласти цілі числа від 1 до n

Відео: Знайти натуральне число n таке, щоб сума 1 + 2 + 3 + ... + n дорівнювала

Цілі числа - це числа, що не містять дробову або десяткову частину. Якщо в задачі потрібно скласти певну кількість цілих чисел від 1 до заданого значення N, то їх не потрібно складати вручну. Замість цього скористайтеся формулою (N (N + 1)) / 2, де N - найбільше число ряду.

Відео: Як скласти числа від 1 до 100

• 2
  Помножте N на (N +1) і розділіть результат множення на 2. Коли ви визначили ціле значення N, підставте його в формулу (N (N + 1)) / 2 і ви знайдете суму всіх цілих чисел від 1 до N.
• Приклад. Підставте N = 100 і отримаєте (100 (100 + 1)) / 2.
• 3
  Запишіть відповідь. Відповідь є сума всіх цілих чисел від 1 до даного N.
• Приклад.
• (100 (100 + 1)) / 2 =
• (100 (101)) / 2 =
• (10100) / 2 = 5050
• Сума всіх цілих чисел від 1 до 100 дорівнює 5050.
• 4
  Висновок формули (N (N + 1)) / 2. Ще раз розглянемо вищеописаний приклад. Подумки розділіть ряд 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100 на два ряди - перший від 1 до 50, а другий від 51 до 100. Якщо ви складете перше число (1) першого ряду і останнє число (100 ) другого ряду, то ви отримаєте 101. ви також отримаєте 101, якщо складіть 2 і 99, 3 і 98, 4 і 97, і так далі. Якщо кожне число першої групи скласти з відповідним числом другої групи, то в результаті ми отримаємо 50 чисел, кожне з яких дорівнює 101. Тому 50 * 101 = 5050 - сума чисел від 1 до 100. Зверніть увагу, що 50 = 100/2 та 101 = 100 + 1. насправді це справедливо для суми будь-яких позитивних цілих чисел: їх підсумовування можна розбити на два етапи з двома рядами чисел, причому відповідні числа в кожному ряду можуть бути складені один з одним, а результат додавання буде однаковим.
• Можна сказати, що сума цілих чисел від 1 до N дорівнює (N / 2) (N + 1). Спрощена запис цієї формули є формула (N (N + 1)) / 2.
• Обчислення суми чисел, розташованих між двома числами, за допомогою суми від 1 до N
  1
  Визначте варіант підсумовування (включно чи ні). Часто в задачах замість того, щоб знайти суму чисел від 1 до заданого числа N, просять знайти суму цілих чисел від N₁ до N₂, де N₂ gt; N₁ і обидва числа gt; 1. Обчислити таку суму досить просто, але, перш ніж приступати до обчислень, ви повинні визначити, чи включаються дані числа в N₁ і N₂ в кінцеву суму чи ні.
• 2
  Щоб знайти суму цілих чисел між двома числами N₁ and N₂, окремо знайдіть суму до N₁, окремо знайдіть суму до N₂ і відніміть їх один з одного (відніміть суму до меншого значення N з суми до більшого значення N). При цьому важливо знати, підсумовувати чи включно чи ні. При підсумовуванні включно ви повинні відняти 1 з даного значення N₁- в іншому випадку ви повинні відняти 1 з даного значення N₂.
• Приклад. Знайдемо суму ("включно") Цілих чисел від N₁ = 75 до N₂ = 100. Іншими словами, ми повинні знайти 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Щоб вирішити задачу, ми повинні знайти суму цілих чисел від 1 до N₁-1, а потім відняти її від суми чисел від 1 до N₂ (Запам`ятайте: при підсумовуванні включно ми віднімаємо 1 з N₁):
• (N₂(N₂ + 1)) / 2 - ((N₁-1) ((N₁-1) + 1)) / 2 =
• (100 (100 + 1)) / 2 - (74 (74 + 1)) / 2 =
• 5050 - (74 (75)) / 2 =
• 5050 - 5550/2 =
• 5050 - 2775 = 2275. Сума чисел від 75 до 100 ("включно") Дорівнює 2275.
• Тепер знайдемо суму чисел без включення даних чисел (іншими словами, ми повинні знайти 76 + 77 + ... + 99). В цьому випадку ми віднімаємо 1 з N₂:
• ((N₂-1) ((N₂-1) + 1)) / 2 - (N₁(N₁ + 1)) / 2 =
• (99 (99 +1)) / 2 - (75 (75 + 1)) / 2 =
• (99 (100)) / 2 - (75 (76)) / 2 =
• 9900/2 - 5700/2 =
• 4950 - 2850 = 2100. Сума чисел від 75 до 100 (без включення цих чисел) дорівнює 2100.
• 3
  Усвідомте процес. Уявіть собі суму цілих чисел від 1 до 100 як 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 і суму цілих чисел від 1 до 75 як 1 + 2 + 3 + ... + 73 + 74 + 75. сума цілих чисел від 75 до 100 ("включно") Мають на увазі обчислення: 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Сума чисел від 1 до 75 і сума чисел від 1 до 100 рівні до числа 75, але сума чисел від 1 до 100 після числа 75 триває: ... + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Таким чином, віднімаючи суму чисел від 1 до 75 з суми чисел від 1 до 100 ми "ізолюємо" суму цілих чисел від 75 до 100.

  Відео: Як навчитися складати числа з переходом через десяток

• Якщо ми підсумовуємо включно, ми повинні використовувати суму від 1 до 74, а не на суму від 1 до 75, щоб включити число 75 в кінцеву суму.
• Аналогічно, якщо ми підсумовуємо без включення даних чисел, ми повинні використовувати суму від 1 до 99, а не на суму від 1 до 100, щоб виключити число 100 з кінцевої суми. Ми можемо використовувати суму від 1 до 75, так як її віднімання з суми від 1 до 99 виключає число 75 з кінцевої суми.

• Поради

  • В результаті обчислення суми завжди виходить ціле число, тому що або N, або N +1 - парне число, яке ділиться на 2 без залишку.
  • Сума [a до b] = Сума [1 до b] - сума [1 до a-1].
    
    
  • Іншими словами: Сума [1 до n] = n (n + 1) / 2

  попередження

  • Хоча поширити цей метод на негативні числа не дуже складно, в даній статті розглядаються тільки будь-які позитивні цілі числа N, де N більше або дорівнює 1.
  
  Увага, тільки СЬОГОДНІ!