Парадокс монті холу

Спробуємо розібрати давно гучну завдання, опубліковану 23 роки тому в журналі "Parade Magazine" і стала своєрідним відлунням відомого американського шоу "Давайте укладемо угоду" (в перекладі). В основах завдання стояв парадокс Монті Холла.

Спробуємо відновити описувані події. Уявіть себе учасником проведеного тоді шоу. Вас підводять до трьох дверей і дають можливість вказати лише на одну, попередивши при цьому, що за кожними дверима заховані призи. Головним призом є ключі від шикарного автомобіля, які ви заберете, якщо відкриєте "правильну" двері, за рештою дверима сховали втішні призи, а точніше - по козлу. Звичайно, втішний приз вас не потішить, - вас цікавить головний приз.

Після довгих роздумів ви в нерішучості вказуєте на одну з дверей (скажімо, на першу). Про те, що являє парадокс Монті Холла, ви, зрозуміло, не знаєте, а тому просто сподіваєтеся на те, що чудеса все-таки часом трапляються.

Відео: Руйнівники легенд: парадокс Монті холу

Але ведучий чомусь відкриває не ту двері, на яку вирішили вказати ви, а іншу (он-то точно знає, де саме заховані ключики). І відкриває він ту двері, за якими сховали козла. Скажімо, третю. Ведучий полегшує завдання, надаючи тепер для вибору тільки двоє дверей. Мало того, він пропонує ще раз подумати і дозволяє назвати інші двері, якщо у вас з`явилися сумніви.

Чи збільшиться шанс забрати ключі, якщо ви передумаєте і вкажете на інші двері? Подумайте хвилинку. На чому зупиніться?

Правильна відповідь: відкриваючи інші двері, ви збільшуєте шанси на отримання ключів вдвічі. Сумніваєтеся? Багато хто сумнівається. Але саме в цьому і полягає парадокс Монті Холла.

Пояснення парадоксу в наступному. Припустимо, ви вибираєте тепер перші двері. Уявімо двері у вигляді двох величин (значень). Величину А позначимо першу (обрану тільки що вами) двері, а величиною В - залишилися двері. Ймовірність влучення ключів в А становить 1/3, а можливість попадання ключів в другу величину В дорівнює, відповідно, 2/3. Чи згодні? Далі. Якби у вас з`явилася можливість відкрити другу і третю двері, схилившись на користь величини У, то шанси поїхати на автомобілі стало б удвічі більше.

Відео: Парадокс Монті Холла - Numberphile

Розглянемо це пильніше. Ви впевнені, що у величині В напевно є козел (мінімум один) і, можливо, ключі. Відкриття одних дверей особливо, начебто, положення не змінює: як і раніше залишаються дві можливості: виграш автомобіля і виграш козла. Але, зупинившись на величині В, ймовірність виграшу ви все-таки збільшите до 2/3, адже для величини А ймовірність становить лише 1/3.

Ще один, вже схематичний, приклад:

д1 Д2 Д3 зміна вибору без зміни вибору
до ж ж ж до
ж до ж до ж
ж ж до до ж

де Д1 - двері перша, Д2 - двері друга, Д3 - двері третя, ж - тварина (козел), до - ключі (машина).

Деякі не беруть парадокс Монті Холла всерйоз, стверджуючи, що ймовірність виграшу ключів як і раніше 50/50 ("або або"). Але багаторазова перевірка все-таки підтверджує: теорія має свою обгрунтовану право на існування і спрацьовує в 2/3 випадків з усіх представлених. Скажімо, з тридцяти представлених можливостей зіграти вам вдасться знайти правильну відповідь у двадцяти. А це досить високий відсоток.

І часто саме парадокс Монті Холла використовують гравці, роблячи ставки на рулетці, або граючи в карти. Чому ж тоді вони програють? Відповідь очевидна: губить жадібність. Або азарт. Як завгодно. Знявши банк, гравець вже не в силах зупинити розбушувалися почуття і робить ще одну ставку, вже забуваючи про теорію. А адже програш ніхто не відміняв. Йдеться про процентне співвідношення виграшу до програшу.

Відео: Парадокс Монті Холла (з фільму "21")

Парадокс Монті Холла доводить: після відкритих дверей з козлом грає завжди вигідніше змінити початковий вибір, оскільки шанси все-таки збільшуються. Ось такі от вони, парадокси теорії ймовірності.

Якщо ж пояснення залишилося вам незрозумілим, спробуйте проігнорувати поки ці доводи і перевірте теорію статистично (або, якщо завгодно, експериментально, в серії експериментів). Подібна математика завжди цікава. Успіхів!